機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波

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簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念

1.定義

物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復(fù)力的作用下的振動(dòng)，叫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。表達(dá)式為：F= -kx

⑴簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移必須是指偏離平衡位置的位移。也就是說，在研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)所說的位移的起點(diǎn)都必須在平衡位置處。

⑵回復(fù)力是一種效果力。是振動(dòng)物體在沿振動(dòng)方向上所受的合力。

⑶“平衡位置”不等于“平衡狀態(tài)”。平衡位置是指回復(fù)力為零的位置，物體在該位置所受的合外力不一定為零。（如單擺擺到最低點(diǎn)時(shí)，沿振動(dòng)方向的合力為零，但在指向懸點(diǎn)方向上的合力卻不等于零，所以并不處于平衡狀態(tài)）

⑷F=-kx是判斷一個(gè)振動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的充分必要條件。凡是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)沿振動(dòng)方向的合力必須滿足該條件；反之，只要沿振動(dòng)方向的合力滿足該條件，那么該振動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

2.幾個(gè)重要的物理量間的關(guān)系

要熟練掌握做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻（或某一位置）的位移x、回復(fù)力F、加速度a、速度v這四個(gè)矢量的相互關(guān)系。

⑴由定義知：F∝x，方向相反。

⑵由牛頓第二定律知：F∝a，方向相同。

⑶由以上兩條可知：a∝x，方向相反。

⑷v和x、F、a之間的關(guān)系最復(fù)雜：當(dāng)v、a同向（即 v、 F同向，也就是v、x反向）時(shí)v一定增大；當(dāng)v、a反向（即 v、 F反向，也就是v、x同向）時(shí)，v一定減小。

3.從總體上描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量

振動(dòng)的最大特點(diǎn)是往復(fù)性或者說是周期性。因此振動(dòng)物體在空間的運(yùn)動(dòng)有一定的范圍，用振幅A來描述；在時(shí)間上則用周期T來描述完成一次全振動(dòng)所須的時(shí)間。

⑴振幅A是描述振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量。（一定要將振幅跟位移相區(qū)別，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)過程中，振幅是不變的而位移是時(shí)刻在改變的）

⑵周期T是描述振動(dòng)快慢的物理量。（頻率f=1/T 也是描述振動(dòng)快慢的物理量）周期由振動(dòng)系統(tǒng)本身的因素決定，叫固有周期。任何簡(jiǎn)諧振動(dòng)都有共同的周期公式： （其中m是振動(dòng)物體的質(zhì)量，k是回復(fù)力系數(shù)，即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判定式F= -kx中的比例系數(shù)，對(duì)于彈簧振子k就是彈簧的勁度，對(duì)其它簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)它就不再是彈簧的勁度了）。

二、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1.彈簧振子

⑴周期 ，與振幅無關(guān)，只由振子質(zhì)量和彈簧的勁度決定。

⑵可以證明，豎直放置的彈簧振子的振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期公式也是 。這個(gè)結(jié)論可以直接使用。

⑶在水平方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧的彈力；在豎直方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。

例1. 如圖所示，質(zhì)量為m的小球放在勁度為k的輕彈簧上，使小球上下振動(dòng)而又始終未脫離彈簧。⑴最大振幅A是多大？⑵在這個(gè)振幅下彈簧對(duì)小球的最大彈力F_m是多大？

解：該振動(dòng)的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。在平衡位置彈力和重力等大反向，合力為零；在平衡位置以下，彈力大于重力，F- mg=ma，越往下彈力越大；在平衡位置以上，彈力小于重力，mg-F=ma，越往上彈力越小。平衡位置和振動(dòng)的振幅大小無關(guān)。因此振幅越大，在最高點(diǎn)處小球所受的彈力越小。極端情況是在最高點(diǎn)處小球剛好未離開彈簧，彈力為零，合力就是重力。這時(shí)彈簧恰好為原長(zhǎng)。

⑴最大振幅應(yīng)滿足kA=mg,   A=

⑵小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)所受回復(fù)力大小相同，所以有：F_m-mg=mg，F_m=2mg

2.單擺。

⑴單擺振動(dòng)的回復(fù)力是重力的切向分力，不能說成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回復(fù)力是零，但合力是向心力，指向懸點(diǎn)，不為零。

⑵當(dāng)單擺的擺角很小時(shí)（小于5°）時(shí)，單擺的周期 ，與擺球質(zhì)量m、振幅A都無關(guān)。其中l為擺長(zhǎng)，表示從懸點(diǎn)到擺球質(zhì)心的距離，要區(qū)分?jǐn)[長(zhǎng)和擺線長(zhǎng)。

⑶小球在光滑圓弧上的往復(fù)滾動(dòng)，和單擺完全等同。只要擺角足夠小，這個(gè)振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這時(shí)周期公式中的l應(yīng)該是圓弧半徑R和小球半徑r的差。

⑷擺鐘問題。單擺的一個(gè)重要應(yīng)用就是利用單擺振動(dòng)的等時(shí)性制成擺鐘。在計(jì)算擺鐘類的問題時(shí)，利用以下方法比較簡(jiǎn)單：在一定時(shí)間內(nèi)，擺鐘走過的格子數(shù)n與頻率f成正比（n可以是分鐘數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時(shí)數(shù)……），再由頻率公式可以得到：

例2. 已知單擺擺長(zhǎng)為L，懸點(diǎn)正下方3L/4處有一個(gè)釘子。讓擺球做小角度擺動(dòng)，其周期將是多大？

解：兩小球的運(yùn)動(dòng)都可看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一部分，時(shí)間都等于四分之一周期，而周期與振幅無關(guān)，所以t_a= t_b；從圖中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以E_a>2E_b。

例4. 將一個(gè)力電傳感器接到計(jì)算機(jī)上，可以測(cè)量快速變化的力。用這種方法測(cè)得的某單擺擺動(dòng)過程中懸線上拉力大小隨時(shí)間變化的曲線如右圖所示。由此圖線提供的信息做出下列判斷：①t＝0.2s時(shí)刻擺球正經(jīng)過最低點(diǎn)；②t＝1.1s時(shí)擺球正處于最高點(diǎn)；③擺球擺動(dòng)過程中機(jī)械能時(shí)而增大時(shí)而減?。虎軘[球擺動(dòng)的周期約是T＝0.6s。上述判斷中正確的是       

      A.①③    B.②④   C.①②    D.③④

解：注意這是懸線上的拉力圖象，而不是振動(dòng)圖象。當(dāng)擺球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，懸線上的拉力最小；當(dāng)擺球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，懸線上的拉力最大。因此①②正確。從圖象中看出擺球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的拉力一次比一次小，說明速率一次比一次小，反映出振動(dòng)過程擺球一定受到阻力作用，因此機(jī)械能應(yīng)該一直減小。在一個(gè)周期內(nèi)，擺球應(yīng)該經(jīng)過兩次最高點(diǎn)，兩次最低點(diǎn)，因此周期應(yīng)該約是T＝1.2s。因此答案③④錯(cuò)誤。本題應(yīng)選C。

三、受迫振動(dòng)與共振

1.受迫振動(dòng)

物體在驅(qū)動(dòng)力（既周期性外力）作用下的振動(dòng)叫受迫振動(dòng)。